Я местный, живу в Сочи, так что подскажу по географии.
Про милю не отвечу, не летаю особо. А вот по жилью — с детьми и коляской я бы не гнался за «первой линией». В районе центра спуски к морю крутые, с коляской намучаетесь, плюс там всё дороже именно за слово «у моря». Посмотрите в сторону Адлера или Кудепсты — там рельеф поположе, до воды идти спокойно, и апарты с кухней дешевле выходят.
Если реально ужать бюджет — частный сектор у хороших хозяев часто лучше апартов, и кухню дадут, и иногда стиралку. Брать лучше не у моря, а во второй-третьей линии, разница в цене ощутимая, а пешком те же 10-15 минут.
Еда: ходите на рынок, не в магазины у набережной. И не ешьте на самой набережной, отойдите пару кварталов вглубь — там же кормят вдвое дешевле и вкуснее. По морю — для мелких лучше галечные пляжи с пологим заходом, в Адлере такие есть.